Trochę teorii
Liczba π (czytaj: liczba pi), zwana też ludolfiną (dlaczego? - o tym dalej) pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Bez niej nie zapisalibyśmy wielu wzorów, np. na pole i obwód koła, powierzchnię kuli, czy objętość walca. W geometrii euklidesowej π wyraża stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy. Inaczej definiując: π to pole koła o promieniu równym 1 albo najmniejsza dodatnia wartość x, dla której sin(x) = 0. Jest to liczba niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones (π jest pierwszą literą greckiego słowa περ?μετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina - tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj matematycy obliczyli przybliżone wartości π). Liczba π z dokładnością 50 miejsc po przecinku wygląda następująco:
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...
Zdziwicie się, ale są tacy, którzy potrafili nauczyć się tego szeregu cyfr, a nawet jego dalszego ciągu!
Trochę historii
Starożytność
Liczba π była już znana w starożytności! Już wtedy zauważono, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic (1900-1680 p.n.e.) pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125. Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda autorstwa skryby króla Ahmesa „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach" można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością 44/34 =3,1604...
Biblia
W biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:
„Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci."
Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie π = 3.
Eureka po chińsku
Archimedes, w III w. p. n. e. oszacował pi z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych. Uzyskał ten wynik wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych - opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył średnią arytmetyczną obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu. Obliczenia były bardzo żmudne i czasochłonne.
Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III w. n. e. metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.
Zu Chonzghi, chiński cesarski astronom ok. 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - 22/7 , oraz późniejsze, wynoszące 355/ 113 które do XV w. było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich.
Od średniowiecza wzwyż...
W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. odkrył wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674r. John Wallis w 1656 roku podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szerego potęgowy. W 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie (użył do tego wieloboku o 262 bokach!).Wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.
Rekordziści
Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku.William Rutheford podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest William Shanks obliczenie 707 miejsc po przecinku zajęło mu 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie.
W 1949 r przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, od tej pory aproksymacje (przybliżenia) liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615·1011 miejsc po przecinku.
Trochę kultury
Liczba Pi ma swoje święto 14 marca (amerykański zapis daty - 3.14 to przeciez nasza poczciwa ludilfinka! ) Obchodzony jest również dzień aproksymacji π - 22 lipca. W Polsce ta data kojarzy się inaczej, niekoniecznie matematycznie, ale to europejski sposób zapisu daty 22/7= 3.1428.
Dla numerologów liczba Pi stanowi symbol idealnej harmonii.
Poezja
Tworzone są też wierszyki i opowiadania mnemotechniczne (służące technice zapamiętywania), w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Np.: Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył. Lub dla dłuższego szeregu:
Jaś o kole z werwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika ?
Oto i wiem i pomnę doskonale...
Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.
Humor
- Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?
- Otóż...elementem poruszającym się po torze jest koło, prawda?A obręcz koła to nic innego jak okrąg. Należy przeanalizować wzór na długość okręgu: O=2 π r. 2 = to stała, r= promień, a Pi...no Pi wynosi trzy z...hakiem.I właśnie ten hak stuka!!!
Inspiracje
Liczba π inspiruje nie tylko matematyków. Wymieńmy chociażby film „Pi" w reżyserii Dana Aronofsky'ego, imię bohatera powieści Yanna Martela „Życie Pi"oraz wiersz Wisławy Szymborskiej z tą liczbą w tytule.
Ciekawostki
Księga Guinnessa można znaleźć listę ludzi, którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby Pi. Należy do nich np. Rajan Mahadevan, który zapamiętał 40.000 cyfr!
Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.